Nos experimentos e nos cálculos na Física e na Engenharia lidamos com muitas medidas, e as medidas sempre envolvem um nível de incerteza. Por isso é muito importante indicá-las corretamente. Matematicamente é correto dizer que 15=15,0=15,00=15,000. Mas não na Física.
Pense no odômetro de um carro. Se ele indica que você viajou 68,4 km, não seria correto indicar que a viagem foi de 68.400 metros, pois não já certeza dos algarismos que viriam depois do 4. O último algarismo que podemos afirmar é o da casa das centenas de metros. Se quisermos indicar a medida em metros, o correto seria escrever, conforme explicamo em mais detalhes adiante, 6,84x104 metros. Por outro lado, se imaginarmos que essa distância tenha sido medida com muita precisão, utilizando teodolitos, GPS, etc, um exemplo de indicação correta seria, 68.432 metros, ou 6,8432x104 metros.
Por exemplo, se usarmos uma régua milimétrica para medir o diâmetro de uma peça redonda, não seria correto indicar o resultado como 15,00 mm, pois a régua não mede centésimos de milímetros. A indicação correta, seria 15 mm, pois sua menor divisão é de um milímetro. Se a mesma peça tivesse sido medida com um paquímetro, porém, poderíamos indicar 15,2 mm, já que o paquímetro tem uma precisão de 0,1 mm. Igualmente, se fizermos essa medição com um micrômetro, poderíamos indicar 15,23 mm, pois o micrômetro nos dá uma leitura centesimal das medidas.
A diferença entre essas indicações é a incerteza. A medição do micrômetro tem uma incerteza menor - ela é mais precisa. Por isso não podemos indicar 15,00 mm para a medida com a escala. Observe as diferenças entre os 3 instrumentos:
Podemos indicar o erro provável de uma medição escrevendo o número seguido do símbolo +/- e daí o erro. Por exemplo:
significa que a medida “d” estará entre 15,5 e 15,9 mm.
Pode ser também feita uma indicação percentual.
Uma notação usada por alguns autores é:
onde o número entre parênteses indica a possível variação do último algarismo do valor da grandeza, resultando, igualmente, em 15,7 a 15,9 mm.
Nos casos em que a incerteza não é explicitada usando as formas acima, ela é indicada pelo número de algarismos usados, no qual o último dígito indicará uma incerteza unitária. Por exemplo, quando indicamos:
Chamamos esses algarismos de algarismos significativos. Nesse exemplo, estamos fornecendo 3 algarismos significativos e informando que a incerteza está no último (0,2), com um erro de aproximadamente +/- 0,1 mm. Essa seria uma indicação correta para um paquímetro com precisão de 0,1 mm, por exemplo.
Se indicamos
também estamos fornecendo 3 algarismos significativos, e estamos informando que o erro deverá ser de 1 km, ou seja, a distância estará entre 252 e 254 km.
Então, a precisão de um valor não está, necessáriamente, no ‘número de casas depois da vírgula’, mas sim no número de algarismos significativos de uma medida ou cálculo.
Algarismos significativos nos cálculos
Quando operamos cálculos com vários graus de incerteza, a resposta deve ser consistente com os dados que temos.
Soma
Na soma, por exemplo, suponha que vamos adicionar um comprimento de 14,75 com um de 8,1. O resultado final deverá indicar o nível de incerteza do dado com o menor nível incerteza. Assim:
O resultado matemático seria 22,82, que, porém, está incorreto do ponto de vista físico, pois indicaria um nível de incerteza irreal. Se nossa incerteza já começa na casa dos décimos, não tem sentido físico indicar uma medida em centésimos.
Multiplicação
Na multiplicação, o resultado final deverá ter o mesmo número de algarismos significativos do dado com o menor número de algarismos significativos. Por exemplo:
Repare que a resposta matemática seria 4,26377952, que, porém, não tem sentido físico, pois não temos precisão suficiente para afirmar que este é o valor correto. De todos os algarismos que participam do produto, o que tem menos algarismos significativos tem 2 (0,58). Assim, a resposta correta deve indicar apenas 2 algarismos significativos.
Uso de potências de 10
Para manter a indicação das medidas consistentes, é conveniente usar a notação de potência de 10. Assim, a indicação da distância à Lua como 384.000.000 m não estaria correta, pois indica um nível de incerteza que com toda probabilidade não reflete a realidade. O mais coerente seria indicar:
Essa seria uma indicação com 3 algarismos significativos, em que a incerteza recai na casa dos milhões de metros, e não do metro.
Se tivermos um valor mais preciso, podemos indicar concordemente. Por exemplo, o site da NASA dá as seguintes informações sobre a distância à Lua:
Unidades métricas: 384.400 km
Notação científica: 3,84400 x 105 km
Observe que tanto a indicação decimal como a científica estão coerentemente fornecidas com o mesmo número de algarismos significativos.
Relacionado ao uso das potência de 10, temos um conceito muito importante na física e na engenharia: a ordem de grandeza. No exemplo acima, tratando de distância, dizemos que a ordem de grandeza da distância da Terra á Lua é de 8, que é o expoente da potência de 10.
Certos valores que aparecem nas formas são uma exceção. Por exemplo:
Tanto o 2 do expoente como o 2 do denominador são tomados como valores exatos.
Exemplo:
A energia de repouso E de um corpo de massa m é dada pela equação de Einstein:
onde c é a velocidade da luz no vácuo, cujo valor é 299.792.458 m/s. Determine E para a massa do elétron, dada como:
Fazendo as substituições, teremos:
Como vimos, porém, o resultado deverá ser indicado com o mesmo número de algarismos significativos do dado com o menor número deles, neste caso 3 (9,11 x 10-31):
Arrendondamento
Para as regras de arredondamento, a norma ABNT-NBR 5891:2014 estabelece o seguinte:
- Quanto o algarismo a ser conservado for seguido de um algarismo inferior a 5, permanece o algarismo conservado e retiram-se os posteriores. Exemplos:
1,439 arredondado para uma casa depois da vírgula ficará 1,4
3,14159 arredondado para duas casas depois da vírgula ficará 3,14
- Quando o algarismo a ser conservado for seguido de um número superior a 5, ou de um número igual a 5 seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, soma-se uma unidade ao algarismo a ser conservado e elimina-se o resto. Exemplos:
4,368 arredondado para uma casa depois da vírgula ficará 4,4
13,75000001 arredondado para uma casa depois da vírgula ficará 13,8
- Quando o número subsequente ao que queremos arrendondar for igual a 5 e posteriormente zero, se o algarismo a ser conservado for par, ele ficará par; se for ímpar, será acrescido de uma unidade. Exemplos:
3,25 arredondado para uma casa depois da vírgula ficará 3,2
3,75 arredondado para uma casa depois da vírgula ficará 3,8
Uso da calculadora científica
Normalmente, as calculadores científicas podem ser configuradas para apresentar os resultados de mais de um modo, dos quais mencionaremos os dois principais:
FIX: esse modo permite que você estabeleça o número de casas depois da vírgula. Por exemplo, se a calculadora estiver configurada em FIX 3, e você fizer 2351/72, o resultado será 32,653.
SCI: nesse modo, o resultado será mostrado em notação científica, com o número de casas decimais que for definido. Se a definição for SCI 3, por exemplo, o mesmo cálculo acima, 2351/72, resultaria 3,265x101. De fato, a indicação seria 3,265E1, sendo que o número depois do E (de expoente) se refere à potência de 10.
A configuração de notação científica é a mais indicada para a resolução dos problemas.