Análise dimensional

Teorema de Bridgman

O estudo da utilização consistente das grandezas e suas unidades é chamado de análise dimensional. Sua aplicação permite não somente garantir que uma equação esteja correta, como também prever qual será a fórmula para certo fenômeno. Vejamos.

Vimos que algumas grandezas são consideradas fundamentais, sendo as três principais o comprimento, a massa e o tempo. Vamos nos concentrar nessas por enquanto, que são as mais comuns na Mecânica. A cada uma delas associamos uma representação matemática, a saber:

L  ⇒ Comprimento

M ⇒ Massa

T ⇒ Tempo

Praticamente todas as grandezas usadas na Mecânica podem ser escritas em função dessas três. Por exemplo, suponha que estamos estudando uma grandeza mecânica A, que depende do comprimento, da massa e do tempo. A dimensão da grandeza A, representada por [A], será dada, de acordo com o teorema de Bridgman (1882-1961), por:

Bridgman.jpg

onde k é uma constante de proporcionalidade, e os expoentes de L, M e T são chamados de dimensões de cada grandeza.




Tomemos como exemplo a velocidade. Sabemos que a velocidade resulta da divisão do espaço percorrido pelo tempo levado para percorrê-lo. Ou:

A análise dimensional dessa fórmula será:

Outros exemplos de dimensões são:

bridgman ex.jpg







Os números puros, assim como constantes como pi e “e”, são dimensionais, ou seja, não tem dimensão. Do mesmo modo os valores trigonométricos como seno, cosseno, tangente e radianos, são adimensionais. 

Algumas constantes, porém, têm dimensão, para estabelecer a consistências dimensional da fórmula, conforme veremos a seguir. Um exemplo é a constante universal da gravitação G, cujo valor é:

Portanto, sua dimensão é:


Consistência dimensional

Joseph Fourier.jpg

Segundo o princípio estabelecido pelo físico e matemático Jean-Baptiste Fourier (1768-1830), uma equação é considerada consistente do ponto de vista de análise dimensional quando somamos ou subtraímos as mesmas grandezas, e quando o resultado tem a mesma grandeza do que estamos calculando. 

Vejamos um exemplo. Vamos fazer a análise dimensional da equação horária de um corpo que se move em movimento retilíneo uniformemente variado. A equação que descreve a posição de um corpo sujeito a esse tipo de movimento é:


Como, do lado esquerdo, x se refere à posição, com dimensão L (comprimento), o resultado da análise dimensional do lado direito terá que ser, obrigatoriamente, L também. Vejamos:

A posição inicial, também corresponde a uma dimensão de comprimento:

A velocidade inicial, vimos acima:

O tempo já é uma grandeza fundamental:

A aceleração é a variação da velocidade no intervalo de tempo:


Juntando tudo, teremos:

Assim, podemos afirmar que a fórmula é dimensionalmente consistente. Repare que, do ponto de vista dimensional, 3 vezes L é igual a L, pois a soma de três comprimentos é também um comprimento. De fato, só podemos somar grandezas físicas que tenham a mesma dimensão.

Previsão de fórmulas

A análise dimensional possibilita modelar matematicamente o comportamento de uma grandeza em função das variáveis que a afetam. Por exemplo, um estudante deseja estabelecer matematicamente como o período de oscilação (T) de um pêndulo, que é o tempo de uma oscilação completa, varia em função do comprimento (l) do pêndulo, de sua massa (m) e da aceleração da gravidade (g). A partir do teorema de Bridgman, ele escreve:

O símbolo 𝜶 significa “proporcional a”.

Vejamos a dimensão de cada componente da fórmula:


Assim, podemos escrever que:


Como:


Aplicando o princípio de Fourier da consistência dimensional, faremos:


Isso significa que:


Donde calculamos que:


Assim, concluímos que:

De fato, o período de um pêndulo em função do seu comprimento é dado por:


© Marco A. Simões 2016